Kamis, 29 Oktober 2015
BAB
I
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi Pertidaksamaan
Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara
nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau
lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤,
atau ≥.
2.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:
(i)
Jika
a > b dan b > c, maka a > c
(ii)
(ii)
Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv)
(iv)
Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v)
(v)
Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat
diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai
berikut :
(vi)
Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii)
Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii)
Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix)
Jika a < b dan c adalah bilangan positif,
maka ac < bc
(x)
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif,
maka ac > bc
(xi)
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xii)
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xiii)
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xiv)
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xv)
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi)
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)
(xvii)
Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)
(xviii)
Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
3. Jenis
pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan anatara laian :
a.
Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
b.
Pertidaksamaan
kuadrat
c.
Pertidaksamaan
bentuk pecahan
d.
Pertidaksamaan
bentuk nilai mutlak ( modus)
a. Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan
linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung
bentuk linier dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan
menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”
Sifat-sifatnya
:
·
Kedua
ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
·
Kedua
ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
·
Kedua
ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka
penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik
Langkah – langkah menyelesaikan
pertidaksamaan linier :
1.
Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri,
sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2.
Kemudian sederhanakan
Perhatikan contoh soal berikut:
1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !
Jawab
5x – 5 < 7x +
3
= 5x – 7x < 3 + 5
=- 2x < 8
= x > - 4
2.
Tentukan
nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x – 4x< 6+8
-2x < 14
X > -7
b. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat
adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a 
0.
0.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
anatara lain:
•
Jadikan
ruas kanan = 0
•
Jadikan
koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
•
Uraikan
ruas kiri atas faktor-faktor linier.
•
Tetapkan
nilai-nilai nolnya
•
Tetapkan
tanda-tanda pada garis bilangan
•
Jawaban
didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
¨ Langkah-langkah:
¤ Tentukan batas-batasnya dengan mengubah
ke dalam persamaan kuadrat
¤ Buatlah garis bilangan dan masukkan
batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
¤ Uji titik pada masing-masing daerah
¤ Tentukan HP nya
c.
Pertidaksamaan bentuk pecahan
pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya
mengandung variabel x.
Langkah – langkah
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
·
Pindahkan
semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
·
Sederhanakan ruas kiri.
·
Ubah bentuk 
menjadi a.b
menjadi a.b
·
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
·
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
·
Berikan tanda pada setiap interval.
·
Samakan
penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
·
Selanjutnya,
sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan 0
0
d. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Merupakan
pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator :
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak
BAB
II
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
2.
Pengertian
fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi komposisi
Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau
bundaran).
n
3.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka
berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
perhatikan
contoh soal :
1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
4. Konsep
Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan
terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f
adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
ingat
:
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
5.
Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh :
1.
Diketahui
g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi
f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
BAB III
FUNGSI
LIMIT
- Pengertian limit
Istilah
limit dalam matematika hampir sama
artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering
dikatakan sebagai nilai pendekatan. Sehingga Limit fungsi f (x) adalah suatu nilai
fungsi yang diperoleh melalui proses pendekatan atau dengan variabel x, baik
dari arah x yang lebih kecil, maupun dari arah x yang lebih besar.
